Eine der wichtigsten Metriken in der allgemeinen Relativitätstheorie ist die Schwarzschildmetrik. Sie beschreibt, wie der Raum um eine kugelförmige Massenverteilung herum gekrümmt ist. Es ist wichtig sich klar zu machen, dass die Schwarzschildgleichung streng nur im massenfreien Raum, also außerhalb jeder Masse und nur für nicht rotierende Körper gilt. Sie ist aber auch bei nicht ganz kugelsymmetrischen, langsam rotierenden Körpern, wie die Erde oder die Sonne eine gute Näherung.
Da die Schwarzschildmetrik für kugelsymmetrische Körper gilt, wird sie immer in Kugelkoordinaten angegeben. Zum Vergleich ist es daher sinnvoll, zunächst die Metrik des ungekrümmten Raums in Kugelkoordiaten anzugeben:
Dies ist die Minkowski-Metrik in Kugelkoordinaten.
Befindet sich ein Objekt nun in einem Schwerkraft-Feld, so läuft die Eigenzeit um so langsamer, je näher das Objekt dem Massenzentrum kommt. Zudem ist auch der Raum verzerrt, so dass ein lokaler Beobachter nicht die Abstände misst, die man in Kugelkoordinaten des ungekrümmten Raumes erwarten würde.
So wie man den ungekrümmten Raum der speziellen Relativitätstheorie mit verschiedenen Koordinaten darstellen kann (zum Beispiel in Kartesischen Koordinaten oder in den hier angegebenen Kugelkoordinaten), kann man auch in der allgemeinen Relativitätsthoerie den Raum mit unterschiedlichen Koordinaten darstellen. Die Schwarzschildmetrik lässt sich also in verschiedenen Formen angeben, die sich hauptsächlich in der Art, wie sie die Raumachsen definieren, unterscheiden.
Standardform
In der Standardform der Schwarzschildmetrik wird die Radiuskoordinate r so definiert, dass der Umfang um die Kugel mit dieser Radiuskoordinaten gerade 2πr ergibt. Das führt dazu, dass die Winkelkoordinaten φ und θ unverzerrt bleiben und die Raumkrümmung sich nur auf die Radialkoordinate auswirkt.
Die Standardform der Schwarzschildmetrik lautet unter dieser Voraussetzung:
mit dem Schwarzschildradius rs von
Der Vergleich mit der Minkowskimetrik in Kugelkoordinaten zeigt sofort, dass sich die Vorfaktoren von den Winkelkoordinaten nicht geändert haben. Die Änderung des Winkels θ um eine kleine Einheit entspricht auch hier einer Abstandsänderung von r mal dieser Einheit. Die Änderung der Zeitkoordinate entspricht jedoch einer um so kleineren Änderung der Eigenzeit, je näher man dem Zentrum kommt. Die Zeit im Gravitationsfeld ist verlangsamt. Im Gegensatz dazu entspricht eine Änderung der Radialkoordinate einer immer größeren Abstandsänderung, je näher man dem Zentrum kommt. Der Raum ist gedehnt.
Am Schwarzschildradius rs wird die Metrik singulär: Der Faktor vor der Zeitkomponente wird null und der Faktor für die Radialkomponente wird unendlich. Tatsächlich ist das nur eine Eigenart dieses Koordinatensystems. Dieses ist nur für Radien größer als rs anwendbar.
Der Abstand d von einem Beobachter am Radius r1 zum Ereignishorizont errechnet sich zu:
Dieser Abstand ist zwar immer größer als r1-rs, aber er ist nicht unendlich. Der Schwerzschildradius befindet sich also für einen äußeren Beobachter durchaus in einer wohl definierten Entfernung.
isotrope Koordinaten
In dieser Form der Metrik liegt die zeitliche Singularität beim Radius
und nicht nur die Radius-Komponente ist gedehnt, sondern alle Raumkomponenten gleichermaßen um den Faktor
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Letzte Änderung: 24.06.2009
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